Увольнения

Вы имеете полное право уволиться по собственному желанию — вне зависимости от прописки.
Согласно статье 40 Трудового кодекса РБ, трудовой договор (контракт) может быть расторгнут по инициативе работника, если он предупредил об этом нанимателя в письменной форме за один месяц (если иной срок не установлен в контракте или коллективном договоре).

Никаких ограничений по месту регистрации (прописке) при этом не предусмотрено.

Ссылаются на "прописку" — это незаконно
Проживание в другом регионе (например, вы прописаны в Витебской области, а работаете в Минске) не может служить основанием для отказа в увольнении. Закон не обязывает человека работать по месту регистрации. Более того, территориальная принадлежность не регулирует трудовые отношения.

Что делать, если отказали в увольнении
Убедитесь, что заявление подано письменно и с входящим номером. Лучше подавать заявление в двух экземплярах, на втором пусть секретарь поставит подпись и дату приёма.

Если наниматель игнорирует заявление — обратитесь в инспекцию труда по месту нахождения вашей организации. Это можно сделать онлайн или письменно.

Также вы вправе подать жалобу в прокуратуру или в суд, если нарушаются ваши трудовые права.

В крайних случаях вы имеете право прекратить работу по истечении установленного срока предупреждения, если наниматель уклоняется от оформления увольнения (ст. 41 ТК РБ).

Заключение
Закон на вашей стороне. Работодатель обязан уволить вас по собственному желанию при соблюдении сроков предупреждения, независимо от прописки. Ссылка на то, что вы «должны работать, раз устроились» — не имеет юридической силы.