Что говорит закон:
Согласно Правилам регистрации граждан по месту жительства и месту пребывания, утверждённым Постановлением Совета Министров № 1080 от 07.09.2007 (в ред. от 2024 г.):

Несовершеннолетние дети (до 18 лет) регистрируются по месту жительства их законных представителей — родителей, усыновителей, опекунов, при условии совместного проживания.

Почему вам говорят «куда вы — туда и дети»
Если вы — мать и являетесь законным представителем ребёнка (в браке или после развода), то при изменении вашей регистрации органы регистрации предполагают, что ребёнок должен проживать с вами, если:

вы не утратили родительских прав;

место жительства ребёнка судом не определено с отцом;

нет отдельного заявления второго родителя о том, что он берёт на себя ответственность за проживание детей.

При этом формальное проживание с отцом после развода не всегда подтверждает, что он является фактическим законным представителем по месту жительства, особенно если дети были изначально зарегистрированы с вами.

Когда ребёнок может быть зарегистрирован отдельно от матери:
Это возможно, если:

у второго родителя (отца) есть право собственности или договор аренды на жильё, где зарегистрированы дети;

место жительства ребёнка определено с отцом — либо по решению суда, либо по соглашению родителей (в т.ч. в решении о разводе);

отец дал официальное согласие на регистрацию детей у него (обычно оформляется заявлением в РВЦ или в решении органа опеки);

либо дети уже были зарегистрированы у отца ранее, и это подтверждено.

Почему «другим разрешили»?
Ваши знакомые могли:

уже пройти согласование с органами опеки;

получить судебное решение;

либо один из родителей добровольно отказался от регистрации детей с ним.

Прецеденты могут быть разные, но каждое дело рассматривается индивидуально и зависит от того, официально ли оформлены отношения родителей, жильё и согласие.

Что вам делать:
Обратитесь в орган регистрации (РВЦ) и уточните, на каком основании вам отказывают (письменно).

Уточните:
– признан ли отец официально местом жительства детей?
– оформлено ли решение суда или соглашение?

При необходимости — подайте заявление в орган опеки и попечительства, чтобы:

определить место проживания детей с отцом;

зарегистрировать их отдельно от вас.

Если дети зарегистрированы у отца, и проживают с ним фактически, препятствий для вашей отдельной регистрации не должно быть.

Вывод:
Вы имеете право прописаться отдельно от детей, если:

дети уже зарегистрированы с отцом,

отец — законный представитель,

органы опеки или суд не установили, что дети должны быть с вами.

Если чиновники требуют регистрации детей «вслед за вами» без оснований, это можно оспорить.