Ваш вопрос касается оформления разрешения на проживание и работу (РПП) гражданину РФ в Беларуси при наличии временной регистрации. Разберём ситуацию с юридической точки зрения.

1. Правовая основа — договор РБ и РФ от 25.12.1998 г.
Договор действительно гарантирует гражданам РФ и РБ равные права на территории друг друга, включая:

свободу передвижения;

выбор места пребывания и жительства;

право на трудоустройство и иные права.

Это означает, что гражданин РФ имеет право свободно находиться и проживать в Беларуси.

2. Временная регистрация и РПП
Согласно Положению о регистрации граждан в РБ (постановление Совмина № 524 от 2006 года), регистрация бывает:

постоянная (по месту жительства);

временная (по месту пребывания, на срок договора аренды и пр.).

Законодательно прямого требования о наличии именно постоянной регистрации для оформления РПП нет.

Однако на практике в органах по вопросам миграции (ОГиМ) зачастую требуют подтверждение постоянной регистрации.

3. Правоприменительная практика
Временная регистрация на основании договора аренды жилья — является законным основанием для проживания.

Гражданин РФ вправе подать заявление на РПП с временной регистрацией.

Если ОГиМ требует постоянную регистрацию, это можно оспорить, ссылаясь на договор между РБ и РФ и положения о регистрации.

4. Рекомендации
При обращении в ОГиМ предоставьте:

паспорт гражданина РФ;

договор аренды с временной регистрацией;

другие документы, подтверждающие проживание и цели пребывания.

Если в ОГиМ откажут на основании отсутствия постоянной регистрации — подайте жалобу вышестоящему органу или в суд, ссылаясь на договор РБ — РФ и нормы национального законодательства.

Можно обратиться к юристу для подготовки официального запроса или жалобы.

Итог:
Гражданин РФ может оформить РПП, имея временную регистрацию в Беларуси, на основании договора аренды жилья. Отказ в ОГиМ на этом основании является неправомерным и подлежит обжалованию.