Лишение родительских прав.
Основания закреплены в ст. 80 Кодекса о браке и семье РБ. Отец может быть лишён родительских прав, если:

уклоняется от воспитания и содержания ребёнка;

жестоко обращается (в том числе физическое насилие);

злоупотребляет родительскими правами;

ведёт аморальный образ жизни.

Ваши слова о побоях, истериках и нежелании ребёнка общаться — это важные факты, но нужны доказательства:

справка от врача, фиксирующая следы побоев;

показания свидетелей;

заключение комиссии по делам несовершеннолетних или органов опеки;

психологическое заключение.

Иск о лишении родительских прав подаётся в районный суд по месту жительства отца с привлечением органов опеки.

Алименты.
Отсутствие иска о взыскании алиментов не мешает подаче иска о лишении прав. Но суд будет учитывать факт участия отца в материальном содержании.

Смена фамилии ребёнку.
По ст. 69 КОБС РБ, смена фамилии ребёнку до 14 лет возможна с согласия обоих родителей. Если отец лишён родительских прав, его согласие уже не требуется. В остальных случаях — только с его письменного согласия или по решению суда/органа опеки, если отец уклоняется или чинит препятствия.

Итог:

лишить родительских прав можно только через суд при наличии доказательств жестокого обращения/уклонения;

сменить фамилию без согласия отца возможно только после лишения его родительских прав либо через решение органов опеки.

Советую параллельно подать на алименты — это покажет в суде, что отец реально не участвует в содержании ребёнка.

Для грамотного составления иска и защиты интересов ребёнка рекомендую обратиться к адвокату. Найти специалиста по семейным делам в Беларуси можно на сервисе yur-24.by.