До вступления в наследство.
После смерти отца наследство ещё не было оформлено. Все расходы по содержанию квартиры в этот период фактически несли те, кто там проживал и пользовался коммунальными услугами (ваш муж не пользовался).

Кто обязан платить.
По ст. 152 Жилищного кодекса РБ расходы по оплате ЖКУ несут собственники или наниматели жилья. Пока муж не вступил в наследство, он не являлся собственником, а значит — обязанности платить у него не было.

Фактические расходы родственников.
Если брат и сестра добровольно проживали в квартире и пользовались коммунальными услугами, это их обязанность. Взыскать с вашего мужа часть они могут только если докажут, что платили и за него как за сособственника, но до момента оформления наследства таких прав у мужа ещё не было.

После вступления в наследство.
Когда муж оформит долю в квартире, он будет обязан участвовать в оплате коммунальных услуг пропорционально своей доле собственности — но только с этого момента, а не задним числом.

Итог:
Ваш муж не обязан возмещать родственникам коммунальные платежи за 5 месяцев после смерти отца, так как он там не проживал, наследство ещё не было оформлено, и юридической обязанности у него не возникло.

Совет: муж может письменно уведомить родственников, что оплачивать будет только после оформления наследства и только свою долю.